成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+5/4}是等比数列．
问题描述：
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+
}是等比数列． 5 4
答
（I）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a，a+d
依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{bn}中的依次为7-d，10，18+d
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{bn}的第3项为5，公比为2
由b3=b1•22，即5=4b1，解得b1＝
5 4
所以{bn}是以
首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn＝5 4
•2n−15 4
（II）数列{bn}的前和Sn＝
＝
(1−2n)5 4 1− 2
•2n−5 4
5 4
即Sn+
＝5 4
，所以S1+5•2n
4
＝5 4
，5 2
＝
Sn+1+
5 4
Sn+
5 4
＝25•2n−1
5•2n−2
因此{Sn+
}是以5 4
为首项，公比为2的等比数列5 2