已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
问题描述:
已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
答
证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2,∵(a3+b3)-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2≥0,∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,同理,a3+b3≥a2b+ab2,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2...