设f(x)为连续函数,且符合关系f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x)

f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt=e^x-x∫(0,x ) f(t) dt+∫(0,x) t*f(t) dt 可知f(0)=1
求导：
f'(x)=e^x-∫(0,x ) f(t) dt-x*f(x)+x*f(x)=e^x-∫(0,x ) f(t) dt f'(0)=1
继续求导：
f''(x)=e^x-f(x)
f''(x)+f(x)=e^x
解这个二阶线性微分方程
通解为f(x)=c1sinx+c2cosx+e^x/2
f(0)=f'(0)=1 所以c2=1/2 c1=1/2
f(x)=1/2(sinx+cosx+e^x)（-x∫(0,x ) f(t) dt+∫(0,x) t*f(t) dt）' =(-x∫(0,x ) f(t) dt)'+(∫(0,x) t*f(t) dt)' =(-x)'*∫(0,x ) f(t) dt+(-x)*(∫(0,x ) f(t) dt)'+(∫(0,x) t*f(t) dt)' = -∫(0,x ) f(t) dt+(-x)*f(x)+x*f(x) = -∫(0,x ) f(t) dt 这里(∫(0,x ) f(t) dt)'=f(x) 这是积分上限求导，公式是(∫(0,g(x) h(t) dt )'=h(g(x)*(g(x))'