设f(x)=1+x+(1+x)2+…+(1+x)n(x≠0,n∈N*)的展开式中x^2项的系数为Tn

问题描述:

设f(x)=1+x+(1+x)2+…+(1+x)n(x≠0,n∈N*)的展开式中x^2项的系数为Tn
则lim Tn/(n^3+5n^2)等于 答案是1/6
x→∞

(1+x)^n中x^2项的系数是n(n-1)/2 (组合公式,或者杨辉三角)
所以Tn=1/2Σ(n^2-n)=1/2(Σn^2-Σn)
由求和公式得到Σn^2=1/6n(n+1)(2n+1);Σn=1/2n(n+1)
那么Tn=1/3n(n^2-1)
Tn/(n^3+5n^2)=(n^2-1)/(6n^2+30n)
根据极限公式,n无限大时LimTn=1/6