已知函数f（x）满足f(1/x)＝x+2． （Ⅰ）求f（x）的解析式及其定义域； （Ⅱ）写出f（x）的单调区间并证明．
问题描述：
已知函数f（x）满足f(
)＝x+2．1 x
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其定义域；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间并证明．
答
（Ⅰ）令
＝t，(t≠0)，--------（2分）1 x
则x＝
，-------（4分）1 t
∴f(t)＝
+2(t≠0)，∴f(x)＝1 t
+2 (x≠0)．-----（6分）1 x
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-----（7分）
设x1，x2∈（-∞，0）∪（0，+∞），x1＜x2，△x=x2-x1＞0，-------（8分）
△y＝f(x2)−f(x1)＝
+2−1 x2
−2＝1 x1
＝
x1−x2
x1x2
．--------（10分）−△x
x1x2
当x1＜x2＜0时，x1x2＞0，又△x＞0，∴△y＜0；
同理，当0＜x1＜x2时△y＜0，
∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-------（12分）