如图,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C.设AD=x,BC=y. (1)求证:AM∥BN; (2)求y关于x的关系式; (3)求四边形ABCD的面积S,并证明:S≥2.

问题描述:

如图,⊙O的直径AB=2,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C.设AD=x,BC=y.
(1)求证:AM∥BN;
(2)求y关于x的关系式;
(3)求四边形ABCD的面积S,并证明:S≥2.

(1)证明:∵AB是直径,AM、BN是切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,
∴AM∥BN.
(2)过点D作DF⊥BC于F,则AB∥DF.
由(1)AM∥BN,∴四边形ABFD为矩形.
∴DF=AB=2,BF=AD=x.
∵DE、DA,CE、CB都是切线,
∴根据切线长定理,得DE=DA=x,CE=CB=y.
在Rt△DFC中,DF=2,DC=DE+CE=x+y,CF=BC-BF=y-x,
∴(x+y)2=22+(y-x)2
化简,得y=

1
x
(x>0).
(3)由(1)、(2)得,四边形的面积S=
1
2
AB(AD+BC)=
1
2
×2×(x+
1
x
),
即S=x+
1
x
(x>0).
∵(x+
1
x
)-2=x-2+
1
x
=(
x
-
1
x
2≥0,当且仅当x=1时,等号成立.
∴x+
1
x
≥2,即S≥2.