证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线之和

问题描述:

证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线之和
假设你只有初中的知识,只用几何法证明,谢谢.

证明:如图

过A,D两点做BC边的高,垂足分别为E、F

则易知△ABE≌△DCF

      BE=CF,AE=DF

利用勾股定理得

BD²=BF²+DF²

BD²=(BC+CF)²+DF²

=BC²+2*BC*CF+CF²+DF²

AC²=AE²+CE²

=AE²+(BC-BE)²

=AE²+BC²-2*BC*BE+BE²

所以BD²+AC²=(BC²+2*BC*CF+CF²+DF²)+(AE²+BC²-2*BC*BE+BE²)

=2*BC²+2(CF²+DF²)

=2*BC²+2*CD²

=BC²+AD²+AB²+CD²

BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²