设向量a=(4cosa,sina),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,cosβ).

问题描述:

设向量a=(4cosa,sina),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,cosβ).
问:(1)若a 与b-2c垂直,求tan (a+β)的值
(2)求|b+c|的最大值
(3)若tanatanβ=16,求证:a//b

1.由a 与b-2c垂直,知向量a与向量(b-2c)的内积为0
即得(4cosa,sina)*(sinβ,4cosβ)
=4cosasinβ+4sinacosβ=0,
所以sin(a+β),=0
tan(a+β)=0
2.b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ+cosβ)
所以|b+c|=根号[(sinβ+cosβ)^2+(5cosβ)^2]
=根号[sin2β+(cos2β)/2+27/2]
=根号【[(根号5)sin(2β+t)]/2+27/2】 (其中tant=1/2)
所以最大值为根号【[(根号5)+27]/2】
3.tanatanβ=16,即sinasinβ=16cosacosβ
所以a//b