函数f（x）=Asin（ωx-π6）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2， （1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间； （2）设a∈（0，π2），则f
问题描述：
函数f（x）=Asin（ωx-
）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π 6
，π 2
（1）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（2）设a∈（0，
），则f（π 2
）=2，求a的值． a 2
答
（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∴A+1=3，即A=2．-----（1分）
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
，∴最小正周期T=π，∴ω=2．------（3分）π 2
所以f（x）=2sin（2x-
）+1．------（4分）π 6
令
+2kπ≤2x−π 2
≤π 6
+2kπ，k∈Z，即 3π 2
+kπ≤x≤π 3
+kπ，k∈Z，5π 6
∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为 [
，π 3
]．-----（8分）5π 6
（Ⅱ）∵f（
）=2sin（α-α 2
）+1=2，即 sin（α-π 6
）=π 6
，------（9分）1 2
∵0＜α＜
，∴-π 2
＜α-π 6
＜π 6
，∴α-π 3
=π 6
，∴α=π 6
．------（12分）π 3