已知函数f(x)＝1/3x3+ax2+bx的极大值点为x=-1． （1）用a来表示b，并求a的取值范围； （2）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为−2/3，求a的值．
问题描述：
已知函数f(x)＝
x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．1 3
（1）用a来表示b，并求a的取值范围；
（2）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为−
，求a的值． 2 3
答
（1）f′（x0）=x2+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（2）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即a≤-
时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减1 2
∴f（x）min=f（2）=8a+
=-2 3
，2 3
解得a=-
，不合条件，舍去1 6
②1-2a＜2，即-
＜a＜1时，1 2
∴f（x）min=f（1-2a）=
(1−2a)2(a−2)=-1 3
，2 3
化简得a（2a-3）2=0，a=0或a=
，取a=03 2
综上，故所求的a=0．