已知f(x)=alnx+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立,则a的取值范围是(  ) A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)

问题描述:

已知f(x)=alnx+

1
2
x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)−f(x2)
x1x2
>2恒成立,则a的取值范围是(  )
A. (0,1]
B. (1,+∞)
C. (0,1)
D. [1,+∞)

对任意两个不等的正实数x1,x2,都有

f(x1)−f(x2)
x1x2
>2恒成立
则当x>0时,f'(x)≥2恒成立
f'(x)=
a
x
+x≥2在(0,+∞)上恒成立
则a≥(2x-x2max=1
故选D.