在数列{an}中，a1=1，an=2（an-1-1）+n（n≥2，n∈N*） （1）求a2，a3的值； （2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和Sn．
问题描述：
在数列{an}中，a1=1，an=2（an-1-1）+n（n≥2，n∈N*）
（1）求a2，a3的值；
（2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
答
（1）a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2，n∈N*）
∴a2=2a1+2-2=2…（2分）
a3=2a2+3-2=5…（4分）
（2）证明：∵
＝
an+1+n+1
an+ n
＝2(2an+n−1)+n+1
an+n
∴数列{an+n}是首项为a1+1=2公比为2的等比数列…（7分）
an+n=2•2n-1=2n，即an=2n-n
∴{an}的通项公式为an=2n-n…（9分）
（3）∵{an}的通项公式为an=2n-n
∴Sn=（2+22+23+…+2n）-（1+2+3+…+n）…（11分）
=
−2(1−2n) 1−2
＝2n+1−n(n+1) 2
…（12分）
n2+n+4 2