已知f(x)=1/2x2+4lnx-5x,f′(x)是f(x)的导数.(Ⅰ)求y=f(x)的极值;(Ⅱ)求f′(x)与f(x)单调性相同的区间.

问题描述:

已知f(x)=

1
2
x2+4lnx-5x,f′(x)是f(x)的导数.
(Ⅰ)求y=f(x)的极值;
(Ⅱ)求f′(x)与f(x)单调性相同的区间.

(Ⅰ)∵f(x)=

1
2
x2+4lnx-5x,∴f′(x)=x+
4
x
-5=
(x-1)(x-4)
x
(x>0),
由f'(x)>0得,0<x<1或x>4,由f'(x)<0得,1<x<4.当x变化时,f'(x)、f(x)变化情况如下表:
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
x(0,1)1(1,4)4(4,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
∴f(x)的极大值f(x)极大=f(1)=-
9
2
,f(x)的极小值f(x)极小=f(4)=8ln2-12.…6分
(Ⅱ)设g(x)=x+
4
x
-5(x>0)
,∴g′(x)=
(x+2)(x-2)
x

由g'(x)>0得,x>2,g(x)为增函数,由g'(x)<0得,0<x<2,g(x)为减函数.
再结合(Ⅰ)可知:f'(x)与f(x)的相同减区间为[1,2],相同的增区间是[4,+∞)…12分.