若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1． （1）求证：f（x）＞0； （2）求证：f（x）为减函数； （3）当f(4)＝1/16时，解不等式f(x−3)•f(5−x2)≤1/4．
问题描述：
若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f(4)＝
时，解不等式f(x−3)•f(5−x2)≤1 16
． 1 4
答
（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=
，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，1 f(−x)
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x1和x2，且x1＜x2，则x2=x1+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x2）-f（x1）=f（x1+m）-f（x1）=f（x1）•f（m）-f（x1）=f（x1）（f（m）-1）＜0，
所以f（x2）＜f（x1），所以f（x）为减函数
（3）由f(4)＝
得f（2）=1 16
，f(x−3)•f(5−x2)≤1 4
，即f（x-3+5-x2）≤f（2）1 4
由（2）可知x-3+5-x2≥2，即x-x2≥0，所以x∈[0，1]．