过椭圆x216+y24=1内一点M（1，1）的弦AB．（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-27 15:01:48

问题描述：

过椭圆

=1内一点M（1，1）的弦AB．

（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

答

（1）设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y-1=k（x-1）．

y-1=k(x-1)

得x²+4（kx+1-k）²=16
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4（1-k²）-16=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，
而M(1，1)是AB中点，则

x1+x2

=1．
综上，得

8k(k-1)

1+4k2

=2，解得k=-

．
∴直线AB的方程为y-1=-

(x-1)，即x+4y-5=0．
（2）设弦AB的中点为P（x，y）
∵A，B，M，P四点共线，
∴k_AB=k_MP即(-

)•

x1+x2

y1+y2

y-1

x-1

，而x1+x2=2x，y1+y2=2y
∴(-

)

y-1

x-1

，整理，得轨迹方程为x2+4y2-x-4y=0．

过椭圆x216+y24=1内一点M（1，1）的弦AB． （1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程； （2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．