已知f(x)=ax+(a-1)/x+2a-1,其中a>0,g(x)=lnx.(1)若f(x)≥g(x),在x属于[1,+无穷大)恒成立,

问题描述:

已知f(x)=ax+(a-1)/x+2a-1,其中a>0,g(x)=lnx.(1)若f(x)≥g(x),在x属于[1,+无穷大)恒成立,
已知f(x)=ax+(a-1)/x+2a-1,其中a>0,g(x)=lnx.
(1)若f(x)≥g(x),在x属于[1,+无穷大)恒成立,求正数a的取值范围.
(2)求证:当x>0时,xg(1+1/x)<1.

令h(x)=f(x)-g(x),a≥½,h′(x)>0在(1,+∞)恒成立,h(x)≥h(1)=4a-2≥0,a≥½
0<a<½,h(x)≥h(1/a-1)≥0,½≤a﹤1(舍),综上,a≥½
设F(X)=g(1+1/x)-1/x= ln(1/x+1)-1/x,令t=1/x,G(t)=ln(1+t)-t,剩下的就很容易了