在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:三角形ABC的周长为2+2√ ̄2.记动点C的轨迹为曲线W
问题描述:
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:三角形ABC的周长为2+2√ ̄2.记动点C的轨迹为曲线W
⑴求W的方程;
⑵经过点(0,√ ̄2)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围;
⑶已知点M(√ ̄2,0),N(0,1),在⑵的条件下,是否存在k值想,使得向量→OP+→OQ与→MN共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
(只要第三问的解答,但需要有具体计算过程,)
答
1.设c点(x,y),则三角形ABC的周长为2+ √ ̄{(x+1)^2+y^2}+√ ̄{(x-1)^2+y^2}=2+2√ ̄2得到曲线w的方程:x^2+2y^2=2
2.设直线l的方程为y=kx+b,由于经过点(0,√ ̄2),所以√ ̄2=k*0+b,得到b=√ ̄2,所以直线l的方程为y=kx+√ ̄2,那么与曲线w的交点为:x^2+2(kx+√ ̄2)^2=2,得到方程
(2k^2+1)x^2+4√ ̄2kx+2=0,由于直线l与曲线w有两个交点P,Q,所以:
△=(4√ ̄2kx)^2-4*(2k^2+1)*2=16k^2-8>0得到k>√ ̄2/2或k<-√ ̄2/2
3.不存在,因为向量→OP+→OQ形成的新向量要通过原点O,而向量→MN的直线方程为:
y=-√ ̄2/2x+1,不会通过原点O的,因此向量→OP+→OQ与→MN不共