已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2． （I）求f（0）的值； （II）求f（x）的
问题描述：
已知函数f（x）的定义域为[0，1]且同时满足：①对任意x∈[0，1]总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2．
（I）求f（0）的值；
（II）求f（x）的最大值；
（III）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝−
(an−3)(n∈N*)，求f（a1）+f（a2）+…+f（an）． 1 2
答
（Ⅰ）令x1=x2=0，
由③知f（0）=2f（0）-2⇒f（0）=2；
（Ⅱ）任取x1x2∈[0，1]，且x1＜x2，
则0＜x2-x1≤1，∴f（x2-x1）≥2
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
=f（x2-x1）+f（x1）-2-f（x1）=f（x2-x1）-2≥0
∴f（x2）≥f（x1），则f（x）≤f（1）=3．
∴f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由Sn＝−
(an−3)知，1 2
当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝−
an+1 2
an−11 2
∴an＝
an−1(n≥2)，又a1＝1，∴an＝1 3
1 3n−1
∴f(an)＝f(
)＝f(1 3n−1
+1 3n
+1 3n
)＝f(1 3n
)+f(2 3n
)−21 3n
=3f(
)−4＝3f(an+1)−41 3n
∴f(an+1)＝
f(an)+1 3
4 3
∴f(an+1)−2＝
(f(an)−2)1 3
又f（a1）-2=1∴f(an)−2＝(
)n−1，∴f(an)＝(1 3
)n−1+21 3
∴f(a1)+f(a2)++f(an)＝2n+
−3 2
.1 2×3n−1