如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=k2x 相交于A、B点.已知点A的坐标为A(4,n),BD⊥x轴于点D,且S△BDO=4.过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图象交于另一点C,与x轴交于点E(5,0).(1)求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式;(2)结合图象,求出当k3x+b>k2x>k1x时x的取值范围.

问题描述:

如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=

k2
x
 相交于A、B点.已知点A的坐标为A(4,n),BD⊥x轴于点D,且S△BDO=4.过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图象交于另一点C,与x轴交于点E(5,0).

(1)求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式;
(2)结合图象,求出当k3x+b>
k2
x
>k1x时x的取值范围.

(1)∵S△BDO=4.
∴k2=2×4=8,
∴反比例函数解析式;y2=

8
x

∵点A(4,n)在反比例函数图象上,
∴4n=8,
n=2,
∴A点坐标是(4,2),
∵A点(4,2)在正比例函数y1=k1x图象上,
∴2=k1•4,
k1=
1
2

∴正比例函数解析式是:y1=
1
2
x,
∵一次函数y3=k3x+b过点A(4,2),E(5,0),
4k3+b=2
5k3+b=0

解得:
k3=−2
b=10

∴一次函数解析式为:y3=-2x+10;
(2)联立y3=-2x+10与y2=
8
x

消去y得:-2x+10=
8
x
,解得x1=1,x2=4,
另一交点C的坐标是(1,8),
点A(4,2)和点B关于原点中心对称,
∴B(-4,-2),
∴由观察可得x的取值范围是:x<-4,或1<x<4.
答案解析:(1)首先根据△BOD的面积求出反比例函数解析式;再利用反比例函数图象上的点的特征求出A点坐标,由于正比例函数经过A点;再利用代定系数法求出正比例函数解析式;一次函数y3=k3x+b过点A(4,2),E(5,0),再次利用代定系数法求出一次函数解析式;
(2)点C是一次函数y3=-2x+10与反比例函数解析式y2=
8
x
的交点,用方程-2x+10=
8
x
先求出C的坐标,再求出B点坐标,最后结合图象可以看出答案.
考试点:反比例函数与一次函数的交点问题.
知识点:此题主要考查了待定系数法求函数解析式和图象上点的坐标,并结合图象看不等式的解,关键掌握凡是图象经过的点都能满足解析式,利用代入法即可求出解析式或点的坐标.