如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．
问题描述：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：
（Ⅰ）A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．
答
证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，
∵E为AA1的中点，O为AC的中点
∴EO为△A1AC的中位线
∴EO∥A1C
又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE
∴A1C∥平面BDE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴AA1⊥BD
又∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵BD⊂平面BDE
∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）
答案解析：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，△A1AC中利用中位线，得EO∥A1C．再结合线面平行的判定定理，可得A1C∥平面BDE；
（II）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到AA1⊥BD．再结合正方形的对角线互相垂直，得到AC⊥BD，从而得到BD⊥平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A1AC⊥平面BDE．
考试点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
知识点：本题以正方体为例，要求我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了空间直线与平面的位置关系和平面与平面位置关系等知识点，属于基础题．