奇函数y=f(x)的定义域为R,当x≥0时,f(x)=2x-x2,设函数y=f(x),x∈[a,b]的值域为[1b,1a],则b的最小值为______.

问题描述:

奇函数y=f(x)的定义域为R,当x≥0时,f(x)=2x-x2,设函数y=f(x),x∈[a,b]的值域为[

1
b
1
a
],则b的最小值为______.

根据题意:令2x-x2=

1
x

解得:x=1或x=
1+
5
2

又∵y=f(x)是奇函数
∴[a,b]=[1,
1+
5
2
]或[a,b]=[-
1+
5
2
,-1]
∴b的最小值为:-1
故答案为-1.
答案解析:由“x∈[a,b]的值域为[
1
b
1
a
]
”,可构造函数y=
1
x
,转化为两函数的交点问题,再利用奇偶性求得区间得到结果.
考试点:奇偶性与单调性的综合.
知识点:本题主要考查函数的定义域,值域和函数的单调性和奇偶性,还考查了转化问题的能力.