若函数y=f（x）在（0，+∞）上的导函数为f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）A. af（a）＞bf（b）B. bf（a）＜af（b）C. bf（a）＞af（b）D. af（a）＜bf（b）
问题描述：
若函数y=f（x）在（0，+∞）上的导函数为f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. af（a）＞bf（b）
B. bf（a）＜af（b）
C. bf（a）＞af（b）
D. af（a）＜bf（b）
答
令g（x）=
（x＞0），则g′（x）=f(x) x
（x＞0）；xf′(x)−f(x) x2
又∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），即
＞f(a) a
，f(b) b
∴bf（a）＞af（b）．
故选：C
答案解析：构造g（x）=
（x＞0），求导数g′（x），利用利用导数判定g（x）的单调性，可以得出结论．f(x) x
考试点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
知识点：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及构造函数来解题的方法，是易错题．