在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA=1/3,⑴求sin²[(B+C)/2]+cos2A的值 ⑵若a=根号3,求bc的最大值
问题描述：
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA=1/3,⑴求sin²[(B+C)/2]+cos2A的值 ⑵若a=根号3,求bc的最大值
答
1）(B+C)/2=(180°-A)/2=90°-A/2
cosA=2cos²（A/2）-1
sin²[(B+C)/2]+cos2A
=sin²（90°- A/2） +cos2A
=cos²A/2 +cos2A
=（cosA+1）/2 +2cos²A-1
=2/3 +2/9-1
=-1/9
2)∵cosA=1/3 所以 sinA=2倍根号2/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以由等比定理得 a/sinA=(b+c)/(sinB+sinC)=根号(27/8)=M
所以 b+c=M(sinB+sinC)
因为 bc≤[(b+c)平方]/2 此时b=c
所以 sinB=sinC
cosA=1/3 所以cos(B+C)=cos(2B)=cosA=-1/3
cosB=根号3/3
所以 sinB=根号6/3 sinC=根号6/3
所以 b=c=M*sinB=3/2
所以 bc最大=9/4