在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且1+cos(π+2A)=2sin2B+C/2. (1)求角A的大小; (2)当a=6时,求其面积的最大值,并判断此时△ABC的形状.

问题描述:

在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且1+cos(π+2A)=2sin2

B+C
2

(1)求角A的大小;
(2)当a=6时,求其面积的最大值,并判断此时△ABC的形状.

(1)由已知得:1−cos2A=2cos2

A
2
,∴4sin2
A
2
cos2 
A
2
=cos2
A
2
,∴sin
A
2
1
2
,∴A=
π
3

(2)b2+c2-bc=36,∴bc≤36,故三角形的面积S=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤9
3

当且仅当b=c时等号成立;又A=
π
3
,故此时△ABC为等边三角形.