设f（x）=lg1+2x+4xa3，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．
问题描述：
设f（x）=lg
，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围． 1+2x+4xa 3
答
当x∈（-∞，1]时f（x）=lg
有意义的函数问题，1+2x+4xa 3
转化为1+2x+4xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．
不等式1+2x+4xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即：a＞-[（
）2x+（1 2
）x]在x∈（-∞，1]上恒成立．1 2
设t=（
）x，则t≥1 2
，又设g（t）=t2+t，其对称轴为t=-1 2
1 2
∴g（t）=t2+t在[
，+∞）上为增函数，当t=1 2
时，g（t）有最小值g（1 2
）=（1 2
）2+1 2
=1 2
3 4
所以a的取值范围是a＞-
．3 4
答案解析：f（x）有意义，则真数大于0，所以问题转化为1+2x+4xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式问题．分离参数，转化为求函数的最值解决．注意到4x=（2x）2，换元法转化为求二次函数在特定区间上的最值问题．
考试点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
知识点：本题考查对数函数的定义域、不等式恒成立问题，考查换元法和转化思想．