已知三角形ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b－2,a－2)求:(1)若m//n,求证:三角形ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p,∠C=3／π,c=2,求三角形ABC的面积
问题描述：
已知三角形ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b－2,a－2)求:(1)若m//n,求证:三角形ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p,∠C=3／π,c=2,求三角形ABC的面积
答
证明：（1）、因为向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),m//n,
所以asinA-bsinB=0,由正弦定理得：a^2-b^2=,即：a=b
故三角形ABC为等腰三角形.
（2）、因为向量m=(a,b),p=(b－2,a－2),m⊥p,
所以a(b-2)+b(a-2)=0,即：a+b=ab
又∠C=π／3,c=2,所以由余弦定理得：c^2=a^2+b^2-2abcosC,
即：c^2=（a+b）^2-2ab-2abcosπ／3
所以：4=（ab）^2-2ab-ab
即：ab）^2-3ab-4=0,
（ab-4)(ab+1)=0
所以：ab=4
故：三角形ABC的面积=1/2absinC=(1/2)*4*sinπ／3=根号3.