已知三角形ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2)求:(1)若m//n,求证:三角形ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,∠C=3/π,c=2,求三角形ABC

问题描述:

已知三角形ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2)求:(1)若m//n,求证:三角形ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,∠C=3/π,c=2,求三角形ABC的面积

证明:(1)、因为向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),m//n,
所以asinA-bsinB=0,由正弦定理得:a^2-b^2=,即:a=b
故三角形ABC为等腰三角形.
(2)、因为向量m=(a,b),p=(b-2,a-2),m⊥p,
所以a(b-2)+b(a-2)=0,即:a+b=ab
又∠C=π/3,c=2,所以由余弦定理得:c^2=a^2+b^2-2abcosC,
即:c^2=(a+b)^2-2ab-2abcosπ/3
所以:4=(ab)^2-2ab-ab
即:ab)^2-3ab-4=0,
(ab-4)(ab+1)=0
所以:ab=4
故:三角形ABC的面积=1/2absinC=(1/2)*4*sinπ/3=根号3.