在三角形 ABC 中,AB=AC ,∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E .设 K 是三角形 ACD 的内心,∠BEK=45° ,求 ∠BAC .三角形ADC是直角三角形,为什么？
问题描述：
在三角形 ABC 中,AB=AC ,∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E .
设 K 是三角形 ACD 的内心,∠BEK=45° ,求 ∠BAC .
三角形ADC是直角三角形,为什么？
答
这是IMO的一道几何题啊。
设∠BAC=2x，通过角平分、内切圆等关系扥出，∠CEB=1.5x，∠EOC=90-x（O为AD、BC交点）。由正弦公式：sin45/cos(90-x)=sin1.5x/cos(45-x/2)，变成乘式，利用积化和差公式：sin（90-x/2）=sin2.5x；因为AB=AC，x∈（0,45），所以90-x∈（67.5，90），2.5x∈（0，112.5），取公共区域则有sinx单调，所以90-0.5x=2.5x，推出x=30，即BAC=60°
答
AB=AC ,∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E,三角形ADC是直角三角形,ACD 的内心K在AC上,角BEK=角BEA=45度,角C+1/2角ABC=角BEA=45度………………（1）角C+1/2角BAC=90度……………………（2）角BAC+角ABC...