已知:如图,二次函数的图象是由y=-x2向右平移1个单位,再向上平移4个单位所得到.(1)求二次函数的解析式;(2)若点P是抛物线对称轴l上一动点,求使AP+CP最小的点P的坐标.

问题描述:

已知:如图,二次函数的图象是由y=-x2向右平移1个单位,再向上平移4个单位所得到.

(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P是抛物线对称轴l上一动点,求使AP+CP最小的点P的坐标.

(1)二次函数的解析式:y=-(x-1)2+4,对称轴为直线x=1;
(2)连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.
要使PA+PC最小.
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=-x2+2x+3与y轴交点C的坐标为(0,3).
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小
设直线BC的解析式为y=kx+3,将B(3,0)代入3k+3=0,得k=-1.
∴y=-x+3,
∴当x=1时,y=2.
∴点P的坐标为(1,2).
答案解析:(1)根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律即可得到新的二次函数的解析式和对称轴;
(2)连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.点A关于对称轴x=1的对称点是点B (3,0),由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小,依此求点P的坐标.
考试点:二次函数综合题.
知识点:本题考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:二次函数图象的几何变换,重点是找出平移变换的关系,轴对称-最短距离,两点之间线段最短.