已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CF⊥AB于E，C是AD的中点，连接BD，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q． （1）求证：P是AQ的中点； （2）若tan∠ABC=3/4，CF=8，求CQ的长．
问题描述：
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CF⊥AB于E，C是
的中点，连接BD，连接AD，分别交AD CE、BC于点P、Q．
（1）求证：P是AQ的中点；
（2）若tan∠ABC=
，CF=8，求CQ的长． 3 4
答
（1）证明：∵C是
的中点，AD
∴
=AC
，CD
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°，
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥AB，
∴
=AC
AF
∴
＝AF
CD
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是AQ的中点．
（2）∵CE⊥AB于E，
∴在Rt△BCE中，由tan∠ABC=
＝CE BE
，3 4
∵CF=8，
∴CE=4，
得：BE=
CE=4 3
，16 3
∴由勾股定理，得BC=
＝
CE2+BE2
，20 3
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=
＝AC BC
，BC=3 4
，20 3
得AC=
BC=5．3 4
∵AB为直径，∠CBA=∠CAQ，
∴Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC2=CQ•BC
∴CQ=
＝AC2 BC
．15 4