梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,AC⊥BD,M、N分别为AB、CD中点,AG⊥BC,求证：AG=MN没有图,但应该可以画出来,
问题描述：
梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,AC⊥BD,M、N分别为AB、CD中点,AG⊥BC,求证：AG=MN
没有图,但应该可以画出来,
答
【证明】过D作DP//AC,交BC的延长线于P.过D作DH垂直于BC.
因为AC垂直于BD,所以有:DP垂直于BD.
又AD//BC,AB=DC,故ABCD是等腰梯形.
即有:AC=BD.
又ACPD是平行四边形,则有:DP=AC=BD.AD=CP.
即三角形DBP是等腰三角形.
又PH垂直于BP,故H是BP的中点.
即有:DH=1/2BP=1/2(BC+PC)=1/2(BC+AD)
又有:AG垂直于BC,故:AG=DH.
同时,MN是中位线.所以有:MN=1/2(AD+BC)
所以有:MN=AG.
答
设O为对角线的交点
过点O作AD的垂线,交AD于点E,交BC于点F
根据题意：四边形ABCD是等腰梯形
所以E,F分别为AD,BC的中点 ,且EF=AG
因为AC⊥BD
所以OE=1/2AD,OF=1/2BC
所以EF=OE+OF=1/2(AD +BC)
MN为中位线
所以MN= 1/2(AD +BC)
所以MN=EF
因为EF=AG
所以AG=MN