设x,y,z均为非零实数且有2^x=5^y=10^z,求xyz的关系式

问题描述:

设x,y,z均为非零实数且有2^x=5^y=10^z,求xyz的关系式

log10=log2+log5
三数分别取对数有
xlog2=zlog2+zlog5
ylog5=zlog2+zlog5
两式相加并整理得
(x-2z)log2+(y-2z)log5=0
因x,y,z均为非零实数
所以(x-2z)/(2z-y)=log5/log2

设2^x=5^y=10^z=k
则log2(k)=x log5(k)=y log10(k)=z
用换底公式 得
1/x=logk(2) 1/y=logk(5) 1/z=logk(10)
而logk(2)+logk(5)=logk(10)
所以1/x+1/y=1/z