O为△ABC所在平面内一点,且[OA]^2+[BC]^2=[OB]^2+[CA]^2=[OC]^2+[AB]^2,试证：点O是△ABC的垂心
问题描述：
O为△ABC所在平面内一点,且[OA]^2+[BC]^2=[OB]^2+[CA]^2=[OC]^2+[AB]^2,试证：点O是△ABC的垂心
答
只证明OA^2+BC^2=OB^2+AC^2
另一半同理可得
假设AO交BC于D,BO交AC于E
BC^2=(BF+CF)^2=BF^2+CF^2+2BFCF
=OB^2+OC^2-2OF^2+2BFCF=OB^2+OC^2-2OC^2+2CF^2+2BFCF=OB^2-OC^2+2(CF*BC)
OA^2+BC^2=OA^2+OB^2-OC^2+2(CF*BC)
同理可证
OB^2+AC^2=OA^2+OB^2-OC^2+2(CD*CA)
所以等价于要证明CF*BC=CD*CA
因为△AFC∽△BDC所以 CF/CD=AC/BC
即原命题成立