O为△ABC所在平面内一点,|向量OA|²+|向量BC|²=|向量OB|²+|向量CA|²=|向量OC|²+|向量AB|²求证：O为△ABC的垂心.
问题描述：
O为△ABC所在平面内一点,|向量OA|²+|向量BC|²=|向量OB|²+|向量CA|²=|向量OC|²+|向量AB|²
求证：O为△ABC的垂心.
答
证明：
|向量OA|²+|向量BC|²=|向量OB|²+|向量CA|²
∴ |向量OA|²-|向量OB|²=|向量CA|²-|向量CB|²
∴ (向量OA-向量OB)•(向量OA+向量OB)=(向量CA-向量CB)•(向量CA+向量CB)
即 向量BA•(向量OA+向量OB)=向量BA•(向量CA+向量CB)
∴ 向量BA•(向量OA+向量AC+向量OB+向量BC)=0
即向量BA.2向量OC=0
即向量BA⊥向量OC
同理,向量BC⊥向量OA,向量AC⊥向量OB
∴ O是△ABC的垂心.