当x在 [-2,1],不等式mx^3>x^2-4x-3恒成立,m取值范围是
问题描述:
当x在 [-2,1],不等式mx^3>x^2-4x-3恒成立,m取值范围是
答
mx³>x²-4x-3
mx³-x²+4x+3>0
首先,假设这个三次方程有三个不同的根.
要使它恒成立,需要在[-2,1]内的数都恒>0即可.
即,代入-2,1,都成立.有
-8m-4-8+3>0 m-1+4+3>0
-8m>9 m>-6
m即它的范围是 (-6,-9/8)
再看它的零点
求导数得3mx²-2x+4=0
△=4-4*4*3m=4-48m
而根据上面可以知道△>0所以它有两上零点,即说明这个三次方程一定有三个不等的实根.
其中,为0点的导数数值为它的极点.
有极点的解为
x=2±√4-48m /6m
=1±√1-12m /3m
因为1-12m>1 所以上面的根有一正一负.
并且f(0)=3>0
可以画草图【-2,1】包含了右边的正0点 ,即x=1-√1-12m/3m这个根.
有01- √1-12m>3m
√1-12m1-12m9m²+6m>0
3m(3m+2)>0
m>0or m与上面取交集得m的范围是(-6,-9/8)
这些分析的不是太好理解,你画个草图估计可以看出来了.