定点A(0,1)B(0,-1)C(1,0),动点P满足:向量AP乘以向量BP=K*(向量PC的平方)急!
问题描述:
定点A(0,1)B(0,-1)C(1,0),动点P满足:向量AP乘以向量BP=K*(向量PC的平方)急!
求(1)求P的轨迹,并说明方程表示的曲线类型
(2)求|(向量AP)+向量BP|的取值范围
主要第二小题的过程,
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答
(1)设动点的坐标为P(x,y),则 AP→=(x,y-1), BP→=(x,y+1), PC→=(1-x,-y)
∵ AP→• BP→=k| PC→|2,∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2]即(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0.
若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)是平行于y轴的直线.
若k≠1,则方程化为: (x+k1-k)2+y2=(11-k)2,
表示以(- k1-k,0)为圆心,以 1|1-k|为半径的圆.
(2)当k=2时,方程化为(x-2)2+y2=1.
∵2 AP→+ BP→=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1),
∴|2 AP→+ BP→|= 9x2+9y2-6y+1.又x2+y2=4x-3,
∴|2 AP→+ BP→|= 36x-6y-26∵(x-2)2+y2=1,∴令x=2+cosθ,y=sinθ.
则36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6 37cos(θ+φ)+46∈[46-6 37,46+6 37],
∴|2 AP→+ BP→|max= 46+637=3+ 37,|2 AP→+ BP→|min= 46-637= 37-3.