若n阶矩阵A的平方=A,E为单位矩阵,证明A的秩+(A -E)秩=n

问题描述:

若n阶矩阵A的平方=A,E为单位矩阵,证明A的秩+(A -E)秩=n

A^2-A=0
所以f(x)=x^2-x是矩阵A的一个化零多项式
所以A的特征值是1或0
r(A)就是特征值1的个数,r(A-E)就是特征值0的个数,(因为A-E的特征值是0或-1)
所以r(A)+r(A-E)=n

证明: 首先证明一个引理 若AB=0,A 为n阶方阵,则有rank(A)+rank(B) 证明如下:设B=(r1,r2,.....,rs)注1,2,....s为下标。 则有(A,A,....A)=0,即Ari=o,i为下标,所以ri为方程AX=0的解, 所以有r(B)又由题有A(A--E)=0,所以r(A)+r(A--E)又有r(A)+r(A--E)>=r(A--(A--E))=r(E)=n 所以由r(A)+r(A--E)=n

A²-A=O
A(A-E)=O
所以
R(A)+R(A-E)