F1,F2 是椭圆x29+y27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 _ .
问题描述:
F1,F2 是椭圆
+x2 9
=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 ___ . y2 7
答
由题意,可得
∵椭圆的方程为
+x2 9
=1,y2 7
∴a=3,b=
,可得c=
7
=
a2-b2
,
2
故焦距|F1F2|=2
,
2
∵根据椭圆的定义,得|AF1|+|AF2|=2a=6,
∴△AF1F2中,利用余弦定理得
|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|•|F1F2|cos45°=|AF2|2=|AF1|2-4|AF1|+8,
即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8,解之得|AF1|=
7 2
故△AF1F2的面积为S=
|AF1|•|F1F2|sin45°=1 2
×1 2
×27 2
×
2
=
2
2
.7 2