F1,F2 是椭圆x29+y27=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 _ .

问题描述:

F1,F2 是椭圆

x2
9
+
y2
7
=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为 ___ .

由题意,可得
∵椭圆的方程为

x2
9
+
y2
7
=1,
∴a=3,b=
7
,可得c=
a2-b2
=
2

故焦距|F1F2|=2
2

∵根据椭圆的定义,得|AF1|+|AF2|=2a=6,
∴△AF1F2中,利用余弦定理得
|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|•|F1F2|cos45°=|AF2|2=|AF1|2-4|AF1|+8,
即(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8,解之得|AF1|=
7
2

故△AF1F2的面积为S=
1
2
|AF1|•|F1F2|sin45°=
1
2
×
7
2
×2
2
×
2
2
=
7
2