具有公共焦点的椭圆与双曲线中心均在原点,对称轴是坐标轴,焦点在x轴上,它们的离心率互为倒数,虚轴长与长轴长之比为1/2,焦点到渐近线的距离为1,求椭圆与双曲线的方程
问题描述：
具有公共焦点的椭圆与双曲线中心均在原点,对称轴是坐标轴,焦点在x轴上,它们的离心率互为倒数,虚轴长与长轴长之比为1/2,焦点到渐近线的距离为1,求椭圆与双曲线的方程
答
根据题意,设虚轴长为b,则长轴长为2*b,c/(2*b)*c/(c^2-b^2)^(1/2)=1,得
c^2=4*b^2(c^2-b^2)
解得
c/b=2^(1/2)
双曲线的渐近线为
x/a-y/b=0或x/a＋y/b=0
而其焦点为(c,0)或(-c,0)
由焦点到渐近线的距离为1得
1=|b*c|/(b^2+a^2)^(1/2)
化简得
b^2+a^2＝b^2*c^2
即：c^2＝b^2*c^2
从而得：b=1,c=2^(1/2),a=1
双曲线方程为
x^2-y^2=1
同样可得椭圆的方程为
x^2/4+y^2/2=1.