已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为______．

问题描述：

已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为______．

答

∵当x＜0时，f（x）=x²+3x+2，，
∴当x∈[-1，-3]时，在[-3，-

]上，函数为减函数，在[-

，-1]上为增函数
可得f（x）在[-1，-3]上的最小值为f（-

）=(−

) 2 −

•3+2＝−

最大值为f（-3）=（-3）²-3×3+2=2
∴当x∈[-1，-3]时，−

≤f(x)≤2
又∵y=f（x）是奇函数，
∴当1≤x≤3，时-f（x）=f（-x）∈[−

，2]
即−2≤f(x)≤

∵当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立
∴区间[-2，

]⊆[n，m]⇒m-n≥

−(−2)＝

故答案为：

答案解析：先在区间[-1，-3]，研究二次函数f（x）=x²+3x+2，得到它的最小值为f（-

）=-

，最大值为f（-3）=2，然后根据f（x）是奇函数，得到当x∈[1，3]时，−2≤f(x)≤

，从而区间[-2，

]⊆[n，m]，得到m-n的最小值为

．
考试点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．
知识点：本题以基本初等函数为载体，考查了函数的奇偶性、二次函数在闭区间上的最值和函数恒成立问题等知识点，属于中档题．