已知:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上,且∠ACB=90°,AC=BC. (1)如图1,当A(0,-2),C(1,0),点B在第四象限时,则点B的坐标为 _ ;(2)如图2,当点C在x轴正半

问题描述:

已知:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上,且∠ACB=90°,AC=BC.

(1)如图1,当A(0,-2),C(1,0),点B在第四象限时,则点B的坐标为 ___ ;
(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动,点A在y轴正半轴上运动,点B在第四象限时,作BD⊥y轴于点D,试判断

OC+BD
OA
OC-BD
OA
哪一个是定值,并说明定值是多少?请证明你的结论.

(1) 过B作BE⊥x轴于E,
则∠BEC=∠ACB=∠AOC=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠OAC=90°,
∴∠2=∠OAC,
在△AOC和△CEB中

∠AOC=∠CEB
∠OAC=∠2
AC=BC

∴△AOC≌△CEB(AAS),
∴OA=CE,OC=BE,
∵A(0,-2),C(1,0),
∴OA=CE=2,OC=BE=1,
∴OE=1+2=3,
∴点B的坐标为(  3,-1 );

(2)结论:
OC-BD
OA
=1

证明:作BE⊥x轴于E,
∴∠1=90°=∠2,
∴∠3+∠4=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠5+∠3=90°,
∴∠5=∠4,
在△CEB和△AOC中,
∠1=∠2
∠4=∠5
CB=AC

∴△CEB≌△AOC,
∴AO=CE,
∵BE⊥x轴于E,
∴BE∥y轴,
∵BD⊥y轴于点D,EO⊥y轴于点O,
∴BD∥OE,
∴四边形OEBD是矩形,
∴EO=BD,
∴OC-BD=OC-EO=CE=AO,
OC-BD
OA
=1