已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[m2+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？
问题描述：
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[
+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？ m 2
答
函数f（x）=alnx-ax-3，f′（x）=ax-a（x＞0）（1）当a=1时，f′（x）=1x-1=1−xx，令f′（x）＞0，则0＜x＜1；f′（x）＜0，则x＞1．故函数f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．（2）由于函数y=f（x...
答案解析：（1）求导数，令它大于0，解得增区间，令小于0，解得减区间；
（2）由条件得f′（2）=1．得到a=-2，求出g（x）的表达式，求出导数，根据条件得到
，解出不等式即可．
g′(2)＜0 g′(3)＞0
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，同时考查构造函数，运用导数求解范围，属于中档题．