抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-20 08:54:23

问题描述：

答

如图所示，依题意，设抛物线方程为y²=2px，则直线方程为y=-x+

p．设直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+

+x₂+

，（4分）
即x₁+

+x₂+

=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是抛物线和直线的交点，
由

y＝−x+

y2＝2px

消去y，得x²-3px+

=0，
∵△=9p²-4×

=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
将其代入①得p=2，
∴所求抛物线方程为y²=4x．
当抛物线方程设为y²=-2px（p＞0）时，
同理可求得抛物线方程为y²=-4x．
故所求抛物线方程为y²=4x或y²=-4x．（8分）