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若函数f（x）=xlnx-a有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）A. [0，1e]B. （-1e，1e）C. （0，1e]D. （-1e，0）

分类: 作业答案 • 2021-12-20 08:51:12
问题描述：

若函数f（x）=xlnx-a有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A. [0，

1
e
]
B. （-
1
e
，
1
e
）
C. （0，
1
e
]
D. （-
1
e
，0）

答

函数的定义域为（0，+∞），
由f（x）=xlnx-a=0得xlnx=a，
设g（x）=xlnx，
则g′（x）=lnx+1，
由g′（x）=lnx+1＞0得x＞

1
e
，此时函数单调递增，
由g′（x）=lnx+1＜0得0＜x＜
1
e
，此时函数单调递减，
即当x=
1
e
时，函数g（x）取得极小值g（
1
e
）=
1
e
ln
1
e
=-
1
e
，
当x→0时，g（x）→0，
∴要使函数f（x）=xlnx-a有两个零点，即方程xlnx=a有两个不同的根，
即函数g（x）和y=a有两个不同的交点，
则-
1
e
＜a＜0，
故选：D
答案解析：根据函数零点的定义，由f（x）=xlnx-a=0得xlnx=a，设函数g（x）=xlnx，利用导数研究函数的极值即可得到结论．
考试点：利用导数研究函数的极值．
知识点：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．

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