已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且x1x2＝mn（m≠0，n≠0）．（1）试求用m和n表示b2ac的式子；（2）是否存在实数m和n，满足x1x2＝mn使b2ac＝65成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
问题描述：
已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且
＝x1 x2
（m≠0，n≠0）．m n
（1）试求用m和n表示
的式子；b2 ac
（2）是否存在实数m和n，满足
＝x1 x2
使m n
＝b2 ac
成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，请说明理由． 6 5
答
知识点：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根；
（4）x1+x2=-
；
（5）x1•x2=
．
（1）由题意得，x1+x2=-ba①，x1x2=ca②．由x1x2=mn，得x1=mnx2③．把③代入①，得x2=-bna(m+n)．把③代入②得x22=ncam．消去x2，得b2ac=(m+n)2mn．（2）若(m+n)2mn=65成立，设（m+n）2=6k，mn=5k（k＞0）．则m+n=±...
答案解析：（1）由一元二次方程的根与系数的关系得到x1+x2=-
①，x1x2=b a
②，由已知c a
＝x1 x2
变形后代入①②，联立方程，消去x，就可得到m n
值．b2 ac
（2）由于
=(m+n)2 mn
成立，设出适当的参数，建立关于以m+n和mn为两根的新的一元二次方程，求得其△的符号后，来判定根的情况后，决定是否存在m，n的值．6 5
考试点：根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．
知识点：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根；
（4）x1+x2=-
| b |
| a |
（5）x1•x2=
| c |
| a |