已知函数f(x)=ln(1+x)x.(Ⅰ)证明:若x≥1,则 f(x)≤ln2;(Ⅱ)如果对于任意x>0,f(x)>1+px恒成立,求p的最大值.

问题描述:

已知函数f(x)=

ln(1+x)
x

(Ⅰ)证明:若x≥1,则 f(x)≤ln2;
(Ⅱ)如果对于任意x>0,f(x)>1+px恒成立,求p的最大值.

(Ⅰ)函数f(x)=ln(1+x)x的导函数为f/(x)=x1+x−ln(1+x)x2,在[0,+∞)上考虑函数g(x)=x1+x−ln(1+x),由g/(x)=1(1+x)2−11+x≤0,可知g(x)单调递减,结合g(0)=0,当x>0时,g(x)<0,所以,f′(x)<0...
答案解析:(1)利用导数求出f(x)的单调区间,求出f(x)的最大值,即可证出;
(2)构造函数h(x)=ln(1+x)-x-px2,则只要h(x)>0恒成立.即h(x)的最小值大于0,求出p的最大值.
考试点:利用导数求闭区间上函数的最值.


知识点:本题利用导数求函数的单调区间,进而求出最大值,来证明不等式,运用了等价转化,化归,构造函数思想,求参数的取值范围,一道导数的综合题.属于中档题.