数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（　　）A. 2n-1B. n•2n-nC. 2n+1-nD. 2n+1-2-n

分类: 作业答案 • 2021-12-20 07:46:47

问题描述：

数列1，（1+2），（1+2+2²），…，（1+2+2²+…+2^n-1）…的前n项和为（　　）
A. 2ⁿ-1
B. n•2ⁿ-n
C. 2ⁿ⁺¹-n
D. 2ⁿ⁺¹-2-n

答

∵1+2+2²+…+2^n-1=

1×(1−2n)

1−2

=2ⁿ-1
∴数列的前n项和为：1+（1+2）+（1+2+2²）+…+（1+2+2²+…+2^n-1）
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n
=

2(1−2n)

1−2

−n=2ⁿ⁺¹-2-n
故选D
答案解析：由1+2+2²+…+2^n-1=

1×(1−2n)

1−2

=2ⁿ-1可知，数列的前n项和为：（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n=

2(1−2n)

1−2

−n=2ⁿ⁺¹-2-n
考试点：数列的求和．
知识点：本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题．