若非零实数a、b均有f(a+b)=f(a)*f(b)且当x1,求证:f(x)为减函数.

问题描述:

若非零实数a、b均有f(a+b)=f(a)*f(b)且当x1,求证:f(x)为减函数.

因为对任意x有f(x)=f(x/2)^2>=0
令x1f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1]
因为x1-x20且f(x2)>0
所以为减函数

1证:令a>0
∵f(a+0)=f(a)f(0)
∴f(0)=1=f(a-a)=f(a)f(-a)
∵f(-a)>1
∴0∴f(x)>0证毕