如图在四边形ABCD中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60度角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点.连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

问题描述:

如图在四边形ABCD中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60度角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点.连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

BE+CF=EF.
证明如下:如图,把△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG,
则∠1=∠3,∠4=∠C,DG=DF,BG=CF,
∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,
∴∠1+∠2=120°-60°=60°,
∴∠3+∠2=60°,
即∠EDG=60°,
∴∠EDG=∠EDF,
∵∠B+∠C=180°,
∴∠B+∠4=180°,
∴点E、B、G共线,
在△EDG和△EDF中,

DG=CF
∠EDG=∠EDF
ED=ED

∴△EDG≌△EDF(SAS),
∴EF=EG,
∵EG=BE+BG=BE+CF,
∴BE+CF=EF.
答案解析:把△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG,根据旋转的性质可得∠1=∠3,∠4=∠C,DG=DF,BG=CF,然后求出∠EDG=∠EDF=60°,再根据∠B+∠C=180°求出点E、B、G共线,然后利用“边角边”证明△EDG和△EDF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=EG,然后整理即可得解.
考试点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,需要注意,一定要证明点E、B、G三点共线,这也是本题容易忽视而导致出错的地方.