如图在四边形ABCD中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60度角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点.连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

问题描述:

如图在四边形ABCD中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60度角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点.连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.

BE+CF=EF.
证明如下:如图,把△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG,
则∠1=∠3,∠4=∠C,DG=DF,BG=CF,
∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,
∴∠1+∠2=120°-60°=60°,
∴∠3+∠2=60°,
即∠EDG=60°,
∴∠EDG=∠EDF,
∵∠B+∠C=180°,
∴∠B+∠4=180°,
∴点E、B、G共线,
在△EDG和△EDF中,

DG=CF
∠EDG=∠EDF
ED=ED

∴△EDG≌△EDF(SAS),
∴EF=EG,
∵EG=BE+BG=BE+CF,
∴BE+CF=EF.